Qué es una recta tangente: ejemplos

Recordemos que una recta es una línea que es recta y que se extiende en una dirección formada por infinitos puntos. Dicho de otra forma, una recta es una sucesión infinita de puntos que se extienden en una misma dirección. Las rectas sólo poseen una dimensión.

La recta tangente es la línea que toca una curva en un único punto. Es decir, la recta tangente será aquella recta que toca en un sólo punto a una curva, ya sea una circunferencia o elipse. El punto en donde se unen la recta y la curva lo llamamos punto de tangencia. La recta tangente entonces, va a representar la pendiente que tendrá la curva en ese punto.

Por tanto, cuando hablamos de recta tangente, estamos refiriéndonos a aquello que toca, es decir en geometría podemos hablar de rectas tangentes o tangentes de un ángulo. En trigonometría por ejemplo, la tangente de un ángulo tiene que ver con la relación que existe entre los catetos del triángulo rectángulo, mientras que el arcotangente también relaciona los catetos pero como una función inversa a la anterior.

La tangente de un círculo

La recta tangente a un círculo es aquella que toca a este en un solo punto, siendo esta perpendicular al radio siempre. Si tenemos un círculo cuyo radio es OT, siendo O el centro de la circunferencia y T el punto donde se une la tangente con el círculo, entonces la recta tangente es perpendicular a OT. Con esto podemos deducir que el radio de una circunferencia y su recta tangente están relacionados.

Las rectas también pueden ser tangentes a funciones en un punto y la ecuación se puede de la misma puede calcularse.

Como mencionamos anteriormente, las rectas pueden ser tangentes a funciones en algún punto por lo tanto podemos hallar la ecuación de esa recta. Supongamos que tenemos una función F(x), la ecuación de su recta tangente en un punto x=a es:

y - b = m (x - a)

Sabiendo que el punto (a,b) es el punto tangente, es decir aquel donde coinciden la recta tangente y la función F(x). La pendiente de la recta es m, que será igual a la derivada de la función en el mismo punto, es decir en a. Por lo tanto, m = F´(a).

Para poder encontrar la ecuación, se deben seguir los siguientes pasos:

• Encontrar la pendiente m de la recta tangente m = F´(a). Es decir, hallar la derivada de la función en el punto tangente.
• Elegir el punto que corresponde a la recta tangente.
• Determinar la ecuación correspondiente a la recta tangente utilizando los valores encontrados anteriormente, tanto la pendiente como el punto tangente.

Descubre aquí los diferentes tipos de identidades trigonométricas.

Para terminar de entender esta lección, aquí te dejamos ejemplos de rectas tangentes.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación de la recta tangente a la función F(x) = x² + x en el punto elegido x=1.

Sabemos que, la ecuación de la recta tangente en un punto x=a es:

y - b = m (x - a)

Debemos encontrar la pendiente m, por lo tanto debemos calcular la derivada de la función en el punto x de tangencia que es igual a 1.

F´(x) = 2.x + 1

F´(1) = 2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3

Por lo tanto, m = F´(1) = 3

Ahora, para encontrar el punto (a,b) que tienen en común la recta tangente con la función, debemos calcular la función en el punto x = 1 para hallar el valor y faltante, entonces:

F(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2

Por lo tanto el punto es (1 , 2)

Ahora que tenemos todos los valores que necesitamos, debemos reemplazar en la ecuación de la recta, y obtenemos:

y - 2 = 3 (x - 1)

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la recta tangente a la función F(x) = 3x² - 7x + 6 en el punto elegido x=1.

Buscamos m y el punto (a,b)

m = F´(1)

F´(x) = 2 . 3 x - 7 = 6.x - 7

m = F´(1) = 6 . 1 - 7 = 6 - 7 = -1

Ahora F(1) = 3 . 1² - 7. 1 + 6 = 3 - 7 + 6 = 2

Entonces el punto es (1 , 2)

La ecuación de la recta tangente es:

y - 2 = -1 (x - 1)

Ejemplo 3

Hallar la ecuación de la recta tangente a la función F(x) = 2x² - 4x + 3 en el punto elegido x=2.

Buscamos m y el punto (a,b)

m = F´(2)

F´(x) = 2 . 2 x - 4 = 4.x - 4

m = F´(2) = 4 . 2 - 4 = 8 - 4 = 4

Ahora F(2) = 2 . 2² - 4 . 2 + 3 = 8 - 8 + 3 = 3

Entonces el punto es (2 , 3)

La ecuación de la recta tangente es:

y - 3 = 4 (x - 2)

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