Qué es un cateto de un triángulo y ejemplos
Los catetos son los lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo, es decir los que unidos generan una apertura de 90° sexagesimales. En una nueva lección de unPRofesor veremos qué es un cateto de un triángulo y ejemplos. Comenzaremos repasando algunos conceptos, luego veremos el teorema de Pitágoras y específicamente qué son los catetos. Finalizamos con algunos ejemplos.
Qué es un triángulo rectángulo
Antes de contarte qué es un cateto de un triángulo y ejemplos, es importante que conozcamos qué es un triángulo rectángulo. Se trata de un triángulo que posee uno de sus ángulos rectos, es decir que uno de sus ángulos si o si debe medir 90° sexagesimales. Debido a que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180° sexagesimales, sabemos que los ángulos restantes deben medir sumados 90° sexagesimales.
Por ello, podemos asegurar que esos ángulos son agudos. Si ambos miden lo mismo, el triángulo rectángulo es isósceles, es decir que también los catetos medirán lo mismo.
Aquí te contamos cómo sacar el área de un triángulo rectángulo.
Qué es un cateto de un triángulo
Los catetos de un triángulo rectángulo son los lados que forman el ángulo de 90° sexagesimales, es decir que son los encargados de generar el ángulo recto. Además, teniendo en cuenta la hipotenusa, los catetos tienen una medida menor que esta, ya que la hipotenusa es el lado que posee mayor longitud. También podemos decir que la hipotenusa será el lado opuesto al ángulo recto que mencionamos anteriormente.
Los catetos de un triángulo rectángulo son dos, y ambos se encuentran opuestos a uno de los ángulos agudos que forman el triángulo. Llevan los nombres de cateto adyacente y cateto opuesto.
- Cateto adyacente: este cateto es aquel que, teniendo en cuenta uno de los ángulos como referencia, es uno de los lados que lo está formando, es decir uno de los lados que junto con la hipotenusa generan la apertura.
- Cateto opuesto: este cateto en cambio, es aquel, que teniendo en cuenta uno de los ángulos de referencia, es el lado opuesto a él, es decir es único lado que NO lo está formando.
Los catetos opuesto y adyacentes se utilizan cuando usamos las identidades trigonométricas del seno, coseno, tangente y sus inversas, mientras que en el teorema de Pitágoras, no distinguimos cuál es cuál ya que solo nos referimos a los lados en sí mismos de un triángulo rectángulo.
Teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas
El teorema de Pitágoras se utiliza para establecer una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Todo triángulo rectángulo posee una hipotenusa y dos catetos, por lo que la relación entre ellos es la siguiente:
h2 = a2 + b2
Siendo h la hipotenusa y, a y b los catetos. El teorema dice que:
“El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos”.
Cuando no conocemos el valor de uno de los catetos, podemos despejar de la ecuación del teorema y obtener nuevas fórmulas para ello, que son las siguientes:
- a = raíz cuadrada (h2 - b2)
- b = raíz cuadrada (h2 - a2)
Qué son las identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas en cambio, establece una relación entre dos lados de un triángulo rectángulo y uno de sus ángulos agudos. Utilizando el ángulo agudo ∝ de un triángulo rectángulo, tenemos las siguientes identidades trigonométricas:
- Seno: el seno de un ángulo ∝ es igual al cateto opuesto de ese ángulo sobre la hipotenusa.
- sen ∝ = cateto opuesto / hipotenusa
- Coseno: el coseno de un ángulo ∝ es igual al cateto adyacente de ese ángulo sobre la hipotenusa.
- cos ∝ = cateto adyacente / hipotenusa
- Tangente: la tangente de un ángulo ∝ es igual al cateto opuesto de ese ángulo sobre el cateto adyacente de ese mismo ángulo.
- tg ∝ = cateto opuesto / cateto adyacente
Si tengo un triángulo rectángulo cuyos valores de un cateto y la hipotenusa conozco, pero está faltando el de uno de sus cateto, conviene utilizar el teorema de Pitágoras para averiguarlo, mientras que si tengo el valor de uno de sus ángulos y la hipotenusa, puedo averiguar el valor del cateto faltante.
Ejemplos de cómo encontrar el valor de un cateto
Conocemos la medida de la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo y debemos hallar el valor del cateto restante. Siendo h = 5.2 cm y a = 3.1 cm utilizamos una de las fórmulas que despejamos del teorema de Pitágoras para hallarlo.
- b = raíz cuadrada (h2 - a2)
- b = raíz cuadrada (5.22 - 3.12)
- b = raíz cuadrada (36.65)
- b = 6.05 cm
Entonces la medida del cateto faltante es 6.05 cm.
Si conocemos la medida de la hipotenusa h = 12 cm y un ángulo ∝ = 30° podemos averiguar los valores de los catetos faltantes con las identidades trigonométricas seno y coseno.
- sen ∝ = cateto opuesto / hipotenusa
- sen 30° = CAT. OP / 12
- 12 x sen 30° = CAT. OP
- 6 cm = CAT. OP
Es decir, el cateto opuesto mide 6 cm.
- cos ∝ = cateto adyacente / hipotenusa
- cos 30° = CAT. AD / 12
- 12 x cos 30° = CAT. AD
- 10.39 cm = CAT. AD
Es decir, el cateto adyacente mide 10.39 cm.
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