Proporcionalidad directa e inversa

Una proporción es una igualdad entre dos razones. Como una razón es una división entre dos números, podemos decir que la proporción es una igualdad entre dos fracciones. No necesariamente deben ser números naturales, ya que pueden ser enteros positivos y negativos, fraccionarios, decimales, etc.

El resultado de la división que hay en un lado del igual debe ser igual al resultado de la división del otro lado del igual.

Ejemplo

Tenemos la siguiente proporción 8/4 = 6/3

Sabemos que 8/4 = 2 y también 6/3 = 2 por lo tanto:

• 8/4 = 6/3
• 2 = 2

Se cumple la proporción debido a que ambos resultados son iguales.

Dos variables son proporcionalmente directas si cuando una variable aumenta o disminuye la otra también aumenta o disminuye según corresponda. Dicho con otras palabras, cuando una de las variables aumenta, la otra también aumenta y por lo tanto son directamente proporcionales. Mientras que si una variable disminuye, la otra también disminuye y por ello son proporcionalmente directas.

Existe una constante de proporcionalidad que se cumple siempre que la división entre los valores sea la misma.

k = y / x

Siendo

• k: constante de proporcionalidad
• x,y: variables

Ejemplo

Si 3 kg de papas cuestan $1.500, ¿cuánto costarán 5 kg de papas?

Para resolverlo, lo primero que debemos pensar es cuáles son las variables. En este caso, las variables son kg de papas y dinero en $. Ahora bien, cuál es la relación entre ellos, y en este caso, si compramos mayor cantidad de papas debemos pagar una mayor cantidad de dinero en $. Si compramos menor cantidad de papas debemos pagar menor cantidad de dinero. Por lo tanto, como ambas variables aumentan o disminuyen, la proporcionalidad será directa.

Para calcularlo, planteamos un cuadro, donde ubicamos las variables en donde corresponde cada una.

x: PAPASy: DINERO

3 kg $1.500

5 kg ?

Ahora bien, utilizamos primero la fórmula para encontrar la constante de proporcionalidad, ya que tenemos dos datos que se relacionan, entonces:

k = y / x

k = 1.500 / 3

k = 500

Una vez que tenemos el valor de k, debemos utilizar la fórmula, reemplazando k y el valor conocido que nos da el ejercicio, para encontrar el valor faltante, entonces:

k = y / x

500 = y / 5

500 . 5 = y

2.500 = y

Por lo tanto, 5 kg de papas cuestan $2.500.

Dos variables son inversamente proporcionales si cuando una variable aumenta o disminuye la otra disminuye o aumenta de forma inversa según corresponda. Dicho de otra manera, cuando una de las variables aumenta, la otra disminuye y por lo tanto son inversamente proporcionales. Mientras que si una variable disminuye, la otra aumenta y por ello son inversamente proporcionales.

Existe la constante de proporcionalidad que es siempre igual realizando el producto entre los valores.

k = x . y

Siendo

• k: constante de proporcionalidad
• x,y: variables

Ejemplo

Si 2 albañiles demoran 6 días en realizar una pared, ¿cuánto demoran 3 albañiles?

Para resolverlo, lo primero que debemos pensar es en cuáles son las variables. En este caso, las variables son la cantidad de albañiles y los días que demoran. Ahora bien, cuál es la relación entre ellos, y en este caso, si contamos con una mayor cantidad de albañiles se va a demorar menor cantidad de días en realizar una pared. Si contamos con menor cantidad de albañiles se va a demorar una mayor cantidad de días en realizar una pared. Por lo tanto, como las variables aumentan o disminuyen de forma inversa, podemos decir que son de proporcionalidad inversa.

Para calcularlo, planteamos un cuadro, donde ubicamos las variables en donde corresponde cada una.

x: ALBAÑILESy: DÍAS

2 6

3 ?

Comenzamos utilizando primero la fórmula para encontrar la constante de proporcionalidad, ya que tenemos dos datos que se relacionan, entonces:

k = x . y

k = 2 . 6

k = 12

Una vez que tenemos el valor de k, debemos utilizar la fórmula, reemplazando k y el valor conocido que nos da el ejercicio, para encontrar el valor faltante, entonces:

k = x . y

12 = 3 . y

12 / 3 = y

4 = y

Por lo tanto, 3 albañiles demoran 4 días en realizar una pared.

Resolver los siguientes ejercicios de proporcionalidad directa e inversa.

1- Si 2 jardineros demoran 10 días en plantar un campo, ¿cuánto demoran 5 jardineros en realizar el mismo trabajo?

2- Si un colectivo demora 3 horas en llegar al primer destino de 600 km, ¿cuánto demora en llegar al segundo destino que son 800 km?

Soluciones

1- Las variables son jardineros y días. La relación que hay entre ellos es inversa, ya que si hay más cantidad de jardineros realizan el trabajo en menor cantidad de días, mientras que si hay menor cantidad de jardineros, demoran más días en hacerlo. Por lo tanto, la relación de proporcionalidad es inversa. Armamos la tabla, y utilizamos la fórmula:

x: JARDINEROSy: DÍAS

2 10

5 ?

Utilizamos la fórmula:

k = x . y

k = 2 . 10

k = 20

Ahora, usamos la fórmula para encontrar cuántos días demoran 5 jardineros:

k = x . y

20 = 5 . y

20/5 = y

4 = y

Por lo tanto, 5 jardineros demoran 4 días en plantar un campo.

2- Las variables son horas y kilómetros recorridos. Entonces pensamos en su relación, si el colectivo recorre mayor cantidad de kilómetros demora mayor cantidad de horas, mientras que si recorre menor cantidad de kilómetros demora menor cantidad de horas, por lo tanto la proporcionalidad es directa. Realizamos la tabla:

x: HORASy: KILÓMETROS

3 600

? 800

Utilizamos la fórmula:

k = y / x

k = 600 / 3

k = 200

Ahora utilizamos la fórmula para hallar la cantidad de horas que demora en llegar al segundo destino.

k = y / x

200 = 800 / x

x = 800 / 200

x = 4

Por lo tanto, demora 4 horas en recorrer 800 km y llegar a destino.

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