Cómo sacar la hipotenusa con un ángulo y el cateto opuesto

Antes de contarte cómo sacar la hipotenusa con un ángulo y el cateto opuesto, tenemos que entender qué son las razones trigonométricas. Cuando hablamos de razones trigonométricas, nos referimos a aquellas relaciones que existen entre los lados de un triángulo que es rectángulo y sus ángulos restantes. Estas relaciones son seis y se llaman: seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.

Recordemos qué utilizando el teorema de Pitágoras con triángulos rectángulos reconocemos a uno de sus lados como la “hipotenusa” mientras que los dos restantes los denominamos “catetos”. Al usar estas relaciones, vamos a tener en cuenta lo mismo, es decir, la hipotenusa es aquel lado que se encuentra opuesto al ángulo recto o de 90 grados sexagesimales, mientras que los catetos serán los lados que forman ese ángulo.

Debido a que los ángulos de un triángulo suman 180° sexagesimales y uno de ellos sabemos que tiene una apertura de 90° sexagesimales, los dos restantes, deberán sumar lo mismo, por lo que podemos asegurar que son agudos, y es posible calcularlos sin problema alguno con las razones trigonométricas.

Siempre que se utilizan las razones trigonométricas, se realizan con respecto a uno de los ángulos restantes, es decir aquellos ángulos agudos que NO son el ángulo recto.

Las razones trigonométricas una a una son las siguientes:

• SENO: el seno de un ángulo (૪) es la relación que existe entre el cateto opuesto y la hipotenusa. sen ૪ = cat. opuesto / hipotenusa
• COSENO: el coseno de un ángulo (૪) es la relación que existe entre el cateto adyacente y la hipotenusa. cos ૪ = cat. adyacente / hipotenusa
• TANGENTE: la tangente de un ángulo (૪) es la relación que existe entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. tg ૪ = cat. opuesto / cat. adyacente
• COSECANTE: la cosecante de un ángulo (૪) es la relación que existe entre la hipotenusa y el cateto opuesto. cosec ૪ = hipotenusa / cat. opuesto
• SECANTE: la secante de un ángulo (૪) es la relación que existe entre la hipotenusa y el cateto adyacente. sec ૪ = hipotenusa / cat. adyacente
• COTANGENTE: la cotangente de un ángulo (૪) es la relación que existe entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. cotg ૪ = cat. adyacente / cat. opuesto

Descubre aquí el teorema del seno.

Para sacar la hipotenusa con un ángulo y el cateto opuesto debemos utilizar la razón trigonométrica que posea esos tres elementos, es decir un ángulo, la hipotenusa y el cateto opuesto. La únicas dos razones que lo cumplen son: el seno y la cosecante. Generalmente se utilizan las razones más básicas que son las tres primeras, seno, coseno y tangente.

Ejemplo

Veamos un ejemplo de cómo averiguamos el valor de la hipotenusa.

En un triángulo rectángulo a, b, h donde a y b son catetos y h es la hipotenusa. Siendo a=12 cm, b= 14.3 cm, α=40° y β = 50°. En este caso, el ángulo α es opuesto al lado a y β es opuesto al lado b. Entonces, utilizando el seno calculamos el valor de la hipotenusa con dos ángulos diferentes.

• Primero utilizamos α y a.
• sen α = cat. opuesto / hipotenusa
• sen α = a / h
• sen 40° = 12 / h

En este momento de la ecuación, despejamos el valor que necesitamos hallar que en este caso es h, y obtenemos:

• sen 40° x h = 12
• h = 12 / sen 40°
• h = 18.6 cm

Ahora utilizamos βy b.

• sen β = cat. opuesto / hipotenusa
• sen β = b / h
• sen 50° = 14.3 / h

En este momento de la ecuación, despejamos el valor que necesitamos hallar que en este caso es h, y obtenemos:

• sen 50° x h = 14.3
• h = 14.3 / sen 50°
• h = 18.6 cm

En ambos casos obtuvimos el mismo resultado para la hipotenusa que mide 18.6 cm.

Si aún queremos comprobar si realizamos bien los cálculos, siempre podemos recurrir al cálculo del teorema de Pitágoras.

• h² = a² + b²
• h² = 12² + 14.3²
• h = raíz cuadrada (348.49)
• h = 18.6 cm

Vamos a comprobar que has aprendido la lección sobre cómo sacar la hipotenusa con un ángulo y el cateto opuesto. Para ello, te dejamos unos ejercicios con soluciones que puedes hacer en casa.

Enunciado) Resolver los siguientes ejercicios

1. Hallar el valor de la hipotenusa sabiendo que el ángulo α = 32° y a=5 cm.
2. Hallar el valor de la hipotenusa sabiendo que el ángulo β= 27° y b= 16 cm.

Soluciones

1- Hallar el valor de la hipotenusa sabiendo que el ángulo α = 32° y a=5 cm.

sen α = cat. opuesto / hipotenusa

sen α = a / h

sen 32° = 5 / h

sen 32° x h = 5

h = 5 / sen 32°

h = 9.4 cm

Por lo tanto la hipotenusa mide 9.4 cm.

2- Hallar el valor de la hipotenusa sabiendo que el ángulo β= 27° y b= 16 cm.

sen β = cat. opuesto / hipotenusa

sen β = b / h

sen 27° = 16 / h

sen 27° x h = 16

h = 16 / sen 27°

h = 35.2 cm

Por lo tanto la hipotenusa mide 35.2 cm.

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