Ángulo entre dos vectores

Para calcular el ángulo entre dos vectores primero debemos recordar algunos conceptos claves como el de vectores y el ángulo entre ellos. Ahora bien, ¿qué es un vector?

Los vectores son segmentos de recta que poseen módulo, dirección y sentido, donde el módulo será la medida o longitud del mismo. El sentido será la orientación que tomará dentro del plano siendo este bidimensional o también tridimensional, y la dirección le permite distinguirse de las magnitudes escalares.

Para representar a un vector se utilizan las coordenadas cartesianas siendo bidimensional (x,y) o tridimensional (x,y,z).

Características de los vectores

• Módulo: longitud o medida que posee un vector dentro del plano, es decir su magnitud expresada en números.
• Dirección: recta sobre la que se traza o extiende el vector infinitamente.
• Sentido: indica geométricamente dónde está dirigido el vector, es decir donde apunta la flecha.
• Punto de aplicación: el origen de los vectores, es decir el punto de inicio gráfico.

Ahora sí, cuando hablamos de ángulo entre dos vectores, nos referimos al ángulo que forman cuando se acoplan y poseen un punto de aplicación en común. Si pensamos en esto, podemos graficarlo como dos segmentos de flecha que se unen en un origen y que forman entre sí una apertura que llamamos ángulo. Cuando medimos el ángulo entre dos vectores podemos pensar que lo que necesitamos medir es la separación que existe entre ellos. Estos se pueden medir tanto en grados sexagesimales como en radianes.

Para calcular el ángulo entre dos vectores se utiliza la fórmula del producto escalar. En este caso utilizaremos dos vectores bidimensionales llamado v=(v1,v2) y u=(u1,u2)

v x u = v x u x cos()

Como queremos calcular el ángulo entonces despejamos la ecuación para obtenerlo y,

cos() = v x uv x u

Luego realizas la función inversa del coseno que es arcocoseno y por lo tanto, la fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores es:

arccos() = v x uv x u

Cuando realizamos el producto escalar podemos encontrarnos con las siguientes situaciones:

1. Si el resultado es positivo, entonces el ángulo será agudo y por lo tanto los vectores poseen la misma dirección.
2. Si el resultado es cero, entonces los vectores serán perpendiculares y forman un ángulo que es recto.
3. Si el resultado es negativo, entonces el ángulo será obtuso y por lo tanto los vectores NO poseen la misma dirección , más bien tienen direcciones que son opuestas.

Veamos un ejemplo para calcular el ángulo entre dos vectores v=(1,2) y u=(-2,3). Utilizaremos la fórmula que mencionamos anteriormente:

arccos() = v x uv x u

Primero realizamos el producto escalar

v x u = v1 x u1 + v2 x u2 = 1 x (-2) + 2 x 3 = -2 + 6 = 4

Luego el producto por los módulos de los vectores

• v = 12+22= 1+4 = 5
• u= (-2)2+32= 4+9 = 13

Ahora sí, utilizamos la fórmula y la reemplazamos por los valores que tenemos, para hallar el ángulo entre ellos.

arccos() = 45 x 13

= 60°

Cuando tenemos dos puntos A=(x1,y1) y B=(x2,y2) del plano cartesiano, podemos hallar el ángulo de inclinación de la recta que se forma, buscando primero la pendiente de la misma, es decir la inclinación que tendrá.

Para ello entonces, utilizamos la fórmula de la pendiente de una recta, denotada con la letra m, que es la siguiente,

m= y2 - y1x2-x1

Luego, como sabemos que la pendiente de una recta también puede calcularse con la fórmula de la tangente del ángulo, la utilizaremos para despejar el valor de , ya que:

m = tan

Entonces, tenemos dos puntos A=(2,-1) y B=(4,3) y utilizamos la fórmula para hallar la pendiente:

m = 3-(-1)4-2 = 3+12 = 42 = 2

Ahora bien, utilizando la fórmula de la tangente del ángulo, despejamos utilizando el arcotangente y hallamos .

• m = tan
• 2 = tan
• arctan = 2
• = 63°

Los tipos de ángulos que pueden formarse entre dos vectores depende del producto escalar entre ellos. Esto quiere decir, que el signo que tenga el resultado de este producto, determinará qué ángulo se genera y qué forma tendrá.

• Producto escalar positivo: cuando el producto escalar es positivo, podemos saber también que el coseno del ángulo será positivo, y por lo tanto el ángulo que se formará será agudo. En otras palabras el ángulo formado será menor a 90° sexagesimales.
• Producto escalar igual a cero: cuando el producto escalar entre los dos vectores es igual a cero, lo que podemos deducir es que el coseno del ángulo que forman será el coseno de cero y por lo tanto el ángulo formado será recto, es decir que mide 90° sexagesimales. Esto nos indica que los vectores son perpendiculares entre sí.
• Producto escalar negativo: cuando el producto escalar entre dos vectores es negativo, quiere decir que el coseno será negativo y por lo tanto el ángulo que se forma entre ellos será obtuso, esto quiere decir que medirá más de 90° y menos de 180° sexagesimales.

Aquí te descubrimos cuáles son los tipos de ángulos que existen.

Aquí te dejamos ejercicios de ángulos entre dos vectores y soluciones para que puedas practicar en casa:

1. Hallar el ángulo entre dos vectores u=(4,5) y v=(2,-1)
2. Hallar el ángulo entre los puntos A=(-2,-4) y B=(4,2)

Soluciones

1- Utilizaremos la fórmula:

arccos() = v x uv x u

Realizamos el producto escalar y el producto por los módulos de los vectores.

v x u = v1 x u1 + v2 x u2 = 4 x 2 + 5 x (-1) = 8 - 5 = 3

v = 22+(-1)2= 4+1 = 5

u= 42+52= 16+25 = 41

arccos() = 35 x 41

= 78°

2- Utilizamos la fórmula de la pendiente entre dos puntos:

m= y2 - y1x2-x1 = 2-(-4)4-(-2) = 2+44+2 = 66 = 1

Ahora, usamos la otra fórmula:

m = tan

1 = tan

arctan = 1

= 45°

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